Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} y & 4 \\ 3 & 2 x \end{array}] - [\begin{array}{c} x + 3 & - 3 \\ 2 & 3 y + 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} y - (x + 3) & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2

Simplify each element.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} y - x - 1 \cdot 3 & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 4 + 3 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 3 - 2 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - (3 y + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - (3 y) - 1 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - 3 y - 1 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} y - x - 3 & 7 \\ 1 & 2 x - 3 y - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 7 \\ 1 & - 9 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Funktionsregel.

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Schritt 2.1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 2.1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 2.1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$7 = a (7) + b 1 = a (1) + b$

Schritt 2.1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 2.1.3.1

Löse in $1 = a + b$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a + b = 1$ um.

$a + b = 1$

$7 = a (7) + b$

Schritt 2.1.3.1.2

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1 - b$

$7 = a (7) + b$

$a = 1 - b$

$7 = a (7) + b$

Schritt 2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $1 - b$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.3.2.1

Ersetze alle $a$ in $7 = a (7) + b$ durch $1 - b$ .

$7 = (1 - b) (7) + b$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Vereinfache $(1 - b) (7) + b$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 = 1 \cdot 7 - b \cdot 7 + b$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 = 7 - b \cdot 7 + b$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$7 = 7 - 7 b + b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 7 b + b$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.2.2.1.2

Addiere $- 7 b$ und $b$ .

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

$7 = 7 - 6 b$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3

Löse in $7 = 7 - 6 b$ nach $b$ auf.

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Schritt 2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $7 - 6 b = 7$ um.

$7 - 6 b = 7$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.3.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 b = 7 - 7$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.2.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$- 6 b = 0$

$a = 1 - b$

$- 6 b = 0$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 b = 0$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 b = 0$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

$b = \frac{0}{- 6}$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 6$ .

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

$b = 0$

$a = 1 - b$

Schritt 2.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.3.4.1

Ersetze alle $b$ in $a = 1 - b$ durch $0$ .

$a = 1 - (0)$

$b = 0$

Schritt 2.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.4.2.1

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

Schritt 2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$a = 1, b = 0$

Schritt 2.1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 2.1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = 7$ .

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Schritt 2.1.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$y = 7 + 0$

Schritt 2.1.4.1.2

Addiere $7$ und $0$ .

$y = 7$

Schritt 2.1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 7$ . Der Test wird bestanden, da $y = 7$ und $y = 7$ .

$7 = 7$

Schritt 2.1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = 1$ .

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Schritt 2.1.4.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = 1 + 0$

Schritt 2.1.4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$y = 1$

Schritt 2.1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 1$ . Der Test wird bestanden, da $y = 1$ und $y = 1$ .

$1 = 1$

Schritt 2.1.4.5

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 2.2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = x$ .

$y = x$

Schritt 3

Ermittle $y - x - 3$ .

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Schritt 3.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $y - x - 3$ zu ermitteln.

$1 = y - x - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $y - x - 3 = 1$ um.

$y - x - 3 = 1$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 = 1 + x$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1 + x + 3$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y = x + 4$

Schritt 4

Ermittle $2 x - 3 y - 1$ .

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Schritt 4.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $2 x - 3 y - 1$ zu ermitteln.

$- 9 = 2 x - 3 y - 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Gleichung als $2 x - 3 y - 1 = - 9$ um.

$2 x - 3 y - 1 = - 9$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 = - 9 + 3 y$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 9 + 3 y + 1$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$2 x = 3 y - 8$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 y - 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 y - 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$x = \frac{3 y}{2} - 4$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$y = x + 4 x = \frac{3 y}{2} - 4$